A DEUX SERIES DE VARIABLES. 171 



et 



( I ) f/<po 2qs,«l\ + $ 2*,(/(/i = cpo 2<î\<fy . • 



i i i 



Or 



i i <I> 



Sep,*, = - I<IV',cp,*n = - Sx^S* tf <p„ = - Sx.w, = 



pour i,/, ^ ^ 1 ,2,3,4 et, eu égard au théorème cTEuler, 



Pareillement 



puisque a? se meut sur le plan u. 

 La relation (1) se réduit à 



V<l> / /y . _ 0. 



Il y a sur P„ deux directions d'avancement linéairement indépendantes 

 pour y et P„ est une vraie surface. 



40. Le plan langent à P„ en y a <!>,- comme coordonnées. Puisque jyj ± 0, 

 $, est proportionnelle à ^ en vertu de la condition de contact (n° 25), 

 c'est-à-dire proportionnelle à v,. Ainsi le « plan tangent est v; l'élément (y, v) 

 adhère à P„ » . 



Par un raisonnement analogue, on verra que le plan v a deux directions 

 d'avancement, en vertu de j^|± 0, linéairement indépendantes. 



La surface P„, qui a déjà oo 2 points y, a aussi o> 2 plans tangents v et 

 n'est pas développable. 



En vertu des équations 



«V%(x; «) = (j/,(x; u), 



le plan v enveloppe une certaine surface qui est précisément P„; le point de 

 contact est y. 



Ainsi « quand jyj ± 0, {</<( ± 0, la primordiale £„ appartient au type I 



