172 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



» du n° 36 ». On a une surface primordiale P„; S H est constituée par 

 les oo' 2 éléments adhérents à P„; il y a oo- [joints et go 2 plans. 



41. Je vais chercher l'équation de P„; elle s'obtient évidemment en 

 annulant une forme quaternaire £(y; ») en y t , dont les coefficients sont 

 fonctions des u t . 



Traitons les y, et les «, comme des paramètres, les x f comme des 

 coordonnées courantes, et envisageons les quatre surfaces 



<p,(x; u) _ tp t [x; u) _<p 3 (x; u) _<p 4 (x; u) 



</< y» y-- !/• 



Sx.m, = 



Soit F (y; u) = la condition pour que les quatre surfaces aient au moins 

 un point commun. F sera une forme biquaternaire et sera le résultant des 

 quatre équations (0) par rapport aux inconnues a?,. 



Nommons P„ la surface F (y; w) = 0. 



Quelles sont les relations mutuelles des deux surfaces P„ et P' u ? 



« Tout point y de P„ est aussi sur P|,. » En effet, soit x le point de u 

 dont y est l'image; x devra appartenir aux quatre surfaces (0); elles 

 devront avoir au moins un point commun et le résultant F(y;u)=0. 

 Ainsi y est sur P u . 



Réciproquement, « tout point y de P', est aussi sur P„ ». En effet, si, 

 pour y, F = 0, les quatre surfaces (0) auront au moins un point x commun; 

 l'image de x sera sur P„ et sera précisément y. 



La conséquence est celle-ci : « les facteurs irréductibles de F(?/; «) et 

 » de &{y; «) sont les mêmes ». On a 



^Q^'Q'" 3 " ••••• ! "' "''*■' P ' P '' "" =C " tieiS P0Si, ' fs * 



où les Q désignent des formes quaternaires irréductibles en y n à coelficients 

 fonctions des u,. 



Admettons provisoirement, ce que je démontrerai tout à l'heure, que la 



