174 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



face T, trois hypothèses seulement sont à Caire pour les déplacements de x : 

 1° x occupe sur le plan u un nombre uni de positions Ç; 

 2° x parcourt sur u une courbe y, indécomposable ou non; 

 3° x parcourt tout le plan u. 

 Algébriquement, cela veut dire ceci : Dans le système 



<p,(x, m) <pi(*;w) 



= • • • = 2xu = 



y> y> 



des quatre équations en x„ quand les paramètres y sont liés par l'équation 

 de la surface T, les solutions x t sont liées par deux, une, aucune relations. 



La première hypothèse est à rejeter, car un au moins des points £ devrait 

 être fondamental et admettre pour image la surface T tout entière, figure 

 à deux dimensions. Cela est absurde (n° 34). 



La seconde hypothèse est à rejeter aussi. Comme il y a oo' 2 points sur la 

 surface T et seulement co sur la courbe y, il y aurait sur y oo points fon- 

 damentaux; cela est absurde (n° 34). 



La troisième hypothèse est seule admissible. Quand y parcourt T, x 

 parcourt tout le plan u. 



De même quand y parcourt T', x parcourt aussi tout le plan u. 



Soit maintenant un point quelconque x de u. x aurait deux images, l'une 

 sur T, l'autre sur T'; elles seraient distinctes, si T et T' le sont, confondues, 

 si T et T' le sont. 



L'image de x doit être unique et la surface primordiale P„ ne peut être 

 qu'indécomposable. C. Q. F. D. 



43. En opérant sur les <j>,- par les procédés qui viennent d'être indiqués 

 (n° 41), on obtient l'équation de P„ en coordonnées-points y,. Opérant sur 

 les <//„ on a l'équation de P„ en coordonnées-plans v t . 



Pareillement si { ç>' ) ± 0, { $' j ± 0, il y aura une surface primordiale P r 

 afférente à x. P r sera définie en coordonnées-points et en coordonnées-plans 

 par les deux équations 



f(y; £) = F{v,x) = 0. 



En vertu de ce qui précède, v, sera proportionnelle à ^- et y, à — . 



