A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 



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46. Reprenons les coordonnées rectilignes £ homogènes du plan u, 

 définies, comme au n° 39, par le système 



d'où 



5* = E<tyC/ ) 

 j f 



= St/yXy ( 



Ux ; = SL — 



C 1( C ls C,j c u 



C 2 i C^2 Cjs Cj4 



£31 C32 C33 Cjt 

 ?/, U] M3 !/, 



(4 = 4,2,3) 



Alors l'expression différentielle 



2p ( /x 2Q</x 

 SPx 2Qx 



du n° 44 devient (les X,, ..., étant rationnelles) 



X = X, (g„ ç„ &) (1,(15, - WS.) + t . . ■ 



Xi A 2 A 5 



f, Ei E. 



d^ rf? s 5rf 5 



L'équation différentielle X = définit sur le plan u un système 3 

 de 00 courbes Y. Comme on sait, par tout point x de u passe une, et une 

 seule, courbe Y; il n'y a exception que pour un nombre fini de points 

 critiques, par lesquels passent plusieurs ou ce courbes Y. 



Tout cela est maintenant bien connu, grâce aux recherches récentes de 

 plusieurs géomètres (MM. Poincaré, Painlevé, Aulonne, ...), que l'on trouvera 

 résumées dans le grand ouvrage de M. Painlevé sur les équations différen- 

 tielles (Paris, 1897; Hermann, éditeur). 



47. Prenons un point quelconque x sur u, et soit Y x la courbe du 

 système H qui passe par x. x a sur la courbe primordiale r u pour image un 

 point y et il vient (n° 44) 



Po ?0 



<po f tyf 



Tome L1X. 



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