A DEUX SERIES DE VARIABLES. 179 



Dans le cas de l'espace ordinaire N = 3, la proposition (que j'aurai 

 immédiatement à appliquer) consiste en ce qui suit : 

 Soit la courbe unicursale C définie par les équations 



j "y. = /"«(') U = polynôme en r j 

 ( a = facteur de proportionnalité ) 



Si à un point quelconque y de C correspond plus d'une valeur du 

 paramètre r, on peut toujours, par des opérations purement rationnelles, 

 obtenir : 



d'abord un second paramètre t, fraction rationnelle en t, 

 ensuite une expression x(y) '• Xo(y)> où les % sont deux formes quater- 

 naires, de même degré, en y i} 



de façon à ce que les propriétés ci-après existent : 



1° La courbe C est représentée par le système (0) analogue à (0') 



| ft/< = F,(«), F, = polynôme en t i 

 } p = facteur de proportionnalité ) 



mais à un point y correspond une seule valeur du paramètre t; 



2° Le faisceau de surfaces t = x '• Xo coupe C en un seul point y mobile 

 avec /; les coordonnées y t de y sont précisément fournies par le système (0). 



Pour abréger le langage, je dirai que / est la variable de Liïroth. 



Cela posé, revenons à la courbe primordiale r u . 



50. Théorème. — « r a est unicursale. » Les y, restant fixes quand X voyage 

 sur la courbe Y, /3 il suffit, pour obtenir les y i} de les calculer en plaçant x 

 à l'intersection de \ y avec une droite quelconque h de u, c'est-à-dire en 

 faisant voyager x sur h. Mais, sur h, on a x, = «,t -f- b i} où t est un para- 

 mètre, les a, et les b, des constantes avec lua = lub = 0. Alors les 

 coordonnées y, du point y sur r„ sont fournies par le système 



y, «= y,{x; u) : <jp (x; m) = <p,(ar -+- 6; u) : <p„(ar -t- 6; u) 

 = (\{t; u) : / (t; u), /, = polynôme en z, 



ce qui établit le tbéorème. 



