180 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



En général, t ne sera pas une variable de Liiroth (n° 49). En effet, 

 Y„ coupe la droite h en plusieurs points, dont chacun fournit une valeur 

 différente pour r. 



Appliquons la proposition énoncée au n° 49 et construisons la variable 

 de Liiroth t. Cela, comme on l'a vu, n'exige que des opérations rationnelles 

 sur les f t , c'est-à-dire aussi sur les u,. 



On aura donc un faisceau de surfaces t = x{</> u ) '• Xo(y> u )> ou ' es X 

 sont des formes hiquaternaires de mêmes dimensions en y„ ou en u t . La 

 surface t = x '• x coupera r„ en un seul point y, dont les coordonnées seront 

 proportionnelles à des polynômes F,(/; u), lesquels sont aussi des formes 

 quaternaires de même degré en u t . Enfin, on peut, dans les x> remplacer 

 les y, par les 9,. Alors t devient 



a (x; II) 



o (x; u) 



c'est-à-dire une fraction rationnelle de degré zéro en x t ou u t . 



Les surfaces t = ™(x; u) : ^ (a?, u) = c te découpent sur le plan u un 

 faisceau de courbes, lequel n'est pas distinct du faisceau S introduit 

 au n° 46. Si, dans l'expression différentielle dl = d | , on introduit les 

 variables % k du n° 46, dl ne diffère de l'expression X du n° 46 que par un 

 facteur indépendant des tf£ fc , k = 4, 2, 3. 



J'établis plus loin (n° 82) que le faisceau H est constitué par des droites 

 qui rayonnent autour d'un point. 



51. Toute la présente discussion, à partir du n° 44, du cas |yj = 0, 

 conduit au résultat suivant : « Si |y} = 0, les quatre expressions f,( x ; ") 

 » sont proportionnelles à des formes binaires par rapport aux deux 

 » variables & et =r , les coefficients de ces formes binaires étant des formes 

 » quaternaires en u,. » 



Les y, = ^(tf; ») : y (a;; u) ne dépendent que d'une seule variable t ou ™ : w . 

 Voilà pourquoi, quand x parcourt u tout entier, y parcourt seulement une 

 courbe, la courbe primordiale r„. 



