A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 181 



52. Cherchons non plus la représentation paramétrique mais hien les 

 équations de la courbe r„. On peut, en vertu de ce qui précède et les /i étant 

 des polynômes, écrire, au lieu de f/ 1 yo = ?i> ' e système 



m-, u) _Jjl; u) = /-,(t; u) ^ /,(<; u) 



Vi «/« y* y* 



Soient «, /S, y, <îune combinaison (|uclconf|ue de quatre nombres 1, 2, 3, 4- 

 et le système de deux équations en / 



(<?) l'y. -y x = h- >j ? = /'■/■ y-r 



L'élimination de l'inconnue t fournira l'équation suivante rendue entière 



Qî(y;«) = 0, où -^ = 0, 



puisque les /"sont des polynômes en t et des formes quaternaires en u,. 



Envisageons les quatre équations Q,(y; «) = 0, /== 4, 2, 3, 4. Les 

 quatre surfaces Qj(y; «) ^= ont évidemment une courbe commune G„, 

 puisque, si deux des systèmes (J) sont satisfaits, les deux autres le seront 

 aussi. 



G„ se composera, en général, d'une partie fixe G?,, indépendante des u, 

 et d'une courbe r„, mobile avec les u. 



« Tout point de r'„ est sur la courbe primordiale r„. » En effet, si y est 

 sur r' ll} les quatre résultants Q, sont nuls et les trois équations (0) en / ont 

 une (je dis une, car / est la variable de Lurolh, et, comme on le voit à 

 l'Appendice, les six polynômes en /, yj> — y.f y , où » et j2 sont 1, 2, 3, 4, 

 ont un plus grand commun diviseur du premier degré en /) solution com- 

 mune. / étant connu, on aura la courbe fc — ^ = du plan u, dont 

 chaque point x aura pour image le point y. y est donc sur r„. 



C. Q. F. D. 



Réciproquement, « tout point de r„ est sur r' u ». En effet, si y est sur r„, 

 il existe une valeur de / pour laquelle le système (0) est satisfait et les 

 quatre rapports f\ : y, égaux. Alors les systèmes (cf) sont satisfaits aussi; 

 s'évanouissent les quatre résultants Q r y est donc sur r'„. C. Q. F. D. 



