182 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Celte démonstration, analogue à celle du n° 41, ne permet pas de 

 conclure à l'identité nécessaire des courbes r„ et r'„. r'„ peut être la 

 courbe r„ comptée plusieurs lois; c'est une propriété analogue à celle du 

 n° 41 pour les surfaces F = et -?= 0. 



53. C'est même ce qui se passera, en général, à cause de la présence 

 sur le plan u, de points foi ni a mentaux y, = 0. Ces points (n" 34) sont 

 en nombre fini et chacun a pour image une courbe de l'espace située sur la 

 primordiale r„. Si les <j>, sont nuls, leurs rapports, ou les rapports des poly- 

 nômes l\(l; a) en /, sont indéterminés. On ne peut avoir /^ = 0, car on peut 

 toujours supposer les polynômes f débarrassés de leur plus grand commun 

 diviseur. Il faut donc avoir/ = w :w = indéterminé, c'est-à-dire ^ = ^ = 0. 



Les points fondamentaux sont donc les points fixes du faisceau de courbes 

 (ou points de base du faisceau) 



(S) du n° 46 v t — ct = 0, 2ux = 0, 



c'est-à-dire du faisceau H. Les points fondamentaux sont les points critiques 

 de l'équation différentielle X = du n° 46. 



Soit x un pareil point critique, par lequel passent toutes les courbes du 

 faisceau H. Vers quelle limite tendra (conformément aux théories du cha- 

 pilre III) y, quand x tend vers x , par tous les itinéraires lU possibles dans 

 le plan a? On peut prendre pour tU la courbe de S qui correspond à une 

 valeur arbitraire de /. Alors la limite, pour x = x , du quotient m : «7 est 

 précisément l et y est quelconque sur la primordiale r„. On peut ainsi faire 

 tendre y vers un point arbitraire de r n et « l'image du point fondamental 

 est la primordiale r„ tout entière ». 



Ainsi l'image complète du plan u se composera de la courbe r„ comptée 

 plusieurs fois, une fois comme image des or points non fondamentaux de a, 

 un certain nombre de fois comme image des points fondamentaux. 



54. Ces résultats sont à rapprocher de ceux du n° 42. 



Quand }?} ± 0, la variété primordiale £ a est une certaine surface P„ sur 



