184 SUR LES FORMES (JUATERNAIRES 



CHAPITRE V 



droite primordiale; point ou plan primordial. 



55. Passons maintenant au cas où, dans le système 



yfp^x ; w) = <p,[x ; «) iv[/ (a ; u) = ty£x ; m) 



qui définit la variété primordiale £„, on a j y j = et \\f> j = 0. 



Nous allons voir qu'alors £ u appartient forcément au type IV du n° 36, 

 c'est-à-dire comprend les oo 2 éléments formés par les oo points situés sur une 

 droite el les co plans passant par la droite. 



56. Si j y \ = 0, il y aura ce points y, situés sur une courbe unicursale y ; 

 les y, seront des polynômes par rapport à une variable de Lùroth s. C'est ce 

 qui résulte du chapitre précédent. 



De même, à cause de \<p \ = 0, il y aura oo plans v, dont les coordonnées 

 v, sont des polynômes par rapport à une variable de Lûrolh /. 



Donnons-nous /, c'est-à-dire le plan v. Si y n'est pas une courbe plane 

 située dans le plan v, v coupe g en un certain nombre de points y, dont 

 chacun fournil une valeur de s. Ainsi quand on se donne l, s est déterminée. 

 Il n'y a qu'une variable indépendante unique, dont dépendraient à la fois les 

 coordonnées //, et y, de l'élément courant (y, v) sur la variété primordiale m„. 

 <£ u n'aurait qu'une dimension, au lieu de deux, ce qui est absurde, en vertu 

 du chapitre III. 



Par conséquent, pour que les deux variables s et / soient indépendantes, il 

 faut que l'intersection de y avec le plan v soit indéterminée, c'est-à-dire que 

 y soit une courbe plane située sur v. 



Soit v 1 un second plan v; y doit, pour les mêmes motifs, être située aussi 

 sur v'. Donc « g est une droite par laquelle passent tous les plans v ». C'est 

 bien le type IV du n° 36. 



