A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 183 



Je nommerai celte droite la droite primordiale A„. La variété primordiale 

 S comprend les ce faisceaux, de co éléments chacun, formés : 1° par un 

 point y de A„ et les co plans v passant par A„, ou bien, 2° par un plan v, 

 passant par A u et les go points y situés sur A u . 



57. Une objection semble pouvoir être opposée au raisonnement précé- 

 dent. On peut dire : le plan quelconque v, fourni par une valeur de /, coupe 

 la courbe g exclusivement en des points spéciaux y pour lesquels s est 

 indéterminée; g n'a donc pas besoin d'être située dans le plan v. 



Voici comment l'objection se lève : par un point quelconque y de g doit, 

 en vertu de l'identité 



2ç'| = ou So^i = 0, 



passer au moins un plan v. Les plans v ne peuvent donc couper g exclusive- 

 ment en des points spéciaux, en nombre fini, pour lesquels s est indéterminée. 



58. On vient de voir que £ u se réduit à la droite primordiale A,„ lorsque 

 \<f\ = 0, {<//} = 0. Réciproquement, si £„ se réduit à A„, il y a : 



seulement co points y et, en vertu du chapitre précédent, \<p\ = 0; 



seulement co plans v et, par conséquent, \<p\ = 0. 



En résumé, « l'évanouissement des deux matrices \y\ et {<//} est la condi- 

 » lion nécessaire et suffisante pour que la variété primordiale '£„ appartienne 

 » au type IV du n° 36 ». 



D'ailleurs, toul comme pour la courbe primordiale r„, l'existence sur u 

 de points fondamentaux fait que l'image complète du plan u se compose de 

 la droite primordiale A„, comptée éventuellement plusieurs fois. 



Les raisonnements sont les mêmes qu'au précédent chapitre. 



59. Je suppose maintenant qu'une des matrices, j^'j par exemple, non 

 seulement s'évanouisse, mais encore ait tous les premiers mineurs nuls dans 

 tous ses cinq déterminants. Alors la dérivée partielle ^=^ a (n° 22) 

 l'expression suivante : 



f'ij = P. p y + tej- 

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