À. DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 89 



c'est-à-dire 



#3 x t 



x, : x 2 = c l % = c". 



Les courbes r sont des droites. 



43. On pourrait étudier les relations mutuelles de position entre les 

 courbes caractéristiques r et les points et plans fondamentaux. La 

 discussion se ferait, par les procédés classiques de Briol et Bouquet (*), 

 pour l'élude de la singularité en un point d'une intégrale. Celte discussion, 

 sans être dépourvue d'intérêt, est trop longue et méticuleuse pour être 

 entreprise ici. Je me bornerai à donner une relation géométrique simple 

 entre les plans fondamentaux et les caractéristiques T. 



44. Considérons un point quelconque x de l'espace et la droite 3G (n° 1) 

 qui passe par ce point. Les coordonnées du point courant y sur SQ, sont 

 données par les relations 



xy t = as, — Aj(x) (<j = paramètre variable). 



Cherchons le point où 3G perce un plan fondamental >j. On a 



(d) TS w = ffS^~^A,(x) = 0. 



Or 



2%A,-(x) = 2x,Jiy()f), 



i i 



en vertu des notations du n° 1. 



Comme >? est fondamental, on a, par définition, <A>,(/?) = — p? ; . Donc (1) 

 devient 



O = (*-*- p)Ixti, 



x n'est pas sur le plan 57 et a = — p. 



Ainsi « l'équation fondamentale II (p) = fournil les paramètres — p des 

 » quatre points où la droite 20, 



— riji=pXi -+- A/(x) 



» perce les quatre plans fondamentaux ». 



(*) Bkiot et Bouquet, Journal de l'École polytechnique, 36 e cahier. 



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