A DEUX SERIES DE VARIABLES. 107 



le plan u, de même que, au n° 72, p, l, p, v étaient les coordonnées du 

 point ç, qui fournissait le point x. 



74. Soit (x,u) un élément de <© 3 ; nommons conjugués les deux points 

 ç et ç' sur Q dont l'un ç fournit x et l'autre ç' fournit m. On a vu au n° 71 

 qu'il existe une substitution Irrationnelle 8, laquelle remplace chaque point ç 

 de Q par son conjugué ç' et laisse, par suite, invariante la surface ii. 



Je me propose d'examiner la forme que revêt § dans un cas particulier 

 important pour la suite. 



Ce cas est celui où les deux surfaces X et U se confondent; alors les 



équations 



(xABC) = (MclUfBC) = 



représentent en coordonnées-points et coordonnées-plans la même surface T. 

 Le point x de T a pour plan associé u dans la variété (S 2 précisément le 

 plan tangent y à U, c'est-à-dire à T. Le plan tangent u à U, c'esl-à-dire 

 à T, a pour associé le point x ou y, où u touche T. 



Bref, il faut faire dans les formules du n° 72 les v t proportionnelles aux 

 m,. Il vient alors 



rVi = lujhji ( P , x, P , v ) 



OU 



lujhji ( P — t, A. (i, v ) = 0. 

 I 



Soit Ç' le point conjugué de ç sur 0. On a (n° 65) par définition 



lu/lji (p\ A', fi', v) = o. 



i 



Ainsi le plan u est fourni à la fois par le point ç' et par le point qui a pour 

 coordonnées 



p T, 1, (t, V. 



Mais il y a correspondance birationnelle entre le plan u et le point ç' qui le 



fournit. Donc 



f! x' fj. v 



p T 1 /X V 



