H 4 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Remarquons en passant que les quotients p : r et p : q ne peuvent être 

 des constantes, car d'abord \p\ = 4 tandis que \q\ = 2. D'autre part, si 



p = Kr, \ p*r~' = l K 3 r 2 = rationnelle, r = carré parfait. 



Mais alors Vr n'aurait que deux valeurs et il en serait de même pour 

 a + é 6 b + •••, ce qui est absurde. 



83. « Dans la relation (1) du n° 82, savoir : 



p* _ L' 



» on a |/| = et / = 4 . » 



En effet, si / n'est pas une constante, on a, en vertu de / 4 /> 3 = LV, 

 r divisible par /', puisque / est premier avec L. Comme \r\ = k, il vient 

 |/| = 4, r= l 4 . Ensuite p 3 = L 4 , L est cube parfait, L = s 3 , \s\ = 4, 



4 



p = S . 



Enfin, q = p~. [relation (2) du n° 82] et q est carré parfait, puisque 

 p = s 4 . 



En résumé, les quantités Vp, Vq, Vr seraient rationnelles. En vertu des 

 équations (2) du n° 81, les quatre racines a, b, c, d seraient rationnelles. 

 L'équation H(/s) = serait, réductible et la surface décomposable. 



C'est une hypolbèse que nous excluons. 



Ainsi / est une constante que l'on peut toujours supposer égale à 4. 



C. Q. F. D. 



84. « L est carré parfait. » 



En effet, faisons clans ;// 4 = rV / = 4, il vient p 3 = rV avec |L| = 2. 

 Alors L, qui n'est pas carré parfait, divise p. p = //L, \p'\ = 2. Il vient 

 p' s = rh et L divise p' . On a p = p V, \p \ = 0; enfin r = p 3 ^ 2 . 



Le quotient p : r serait une constante, ce qui est absurde (n° 82, in 

 fine). 



