A DEUX SERIES DE VAWAHLES. 



lô!) 



3. Il est évidemment équivalent d'étudier soit la correspondance Irra- 

 tionnelle, définie au n° 1, entre deux espaces U et V; soit les substitutions 

 Irrationnelles s et s~\ définies au n° 2, dans un espace unique W. 



C'est ce second point de vue que nous adoptons pour la suite. N'envisa- 

 geant plus qu'un espace unique, je le nommerai U avec les x t et les u, pour 

 coordonnées-points et coordonnées-plans courantes. 



Alors j'écrirai, conformément aux notations du n° 2, 



s = 



m m 

 n ri 



VV 



VV 

 9 9' 



m m 

 n ri 



m m 



x; n 



\x ; u I 



V V 



x ; m 



9 9' 



x; u 



4. Introduisons maintenant pour la substitution Irrationnelles une sujé- 

 tion de plus. Soient deux éléments infiniment voisins [x, u) et (x -f- dx, 

 u -j- du) en situation réunie, avec 



)Hudx = Sxr/u = 0. 



« Leurs images (y, v) et (y + dy, v -j- dv) devront être aussi en situation 



» réunie », c'est-à-dire 



Svdy = 2i/dw = 0. 



Différentions les relations (1) du n u 1 ; il viendra 



d'où 





d(p B Dvy -+- (p 2vdy = 2ud<p, 

 dty„2vy ■+■ (j/oSf/r/u = ïydty; 



