444 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



10. Pour mieux me faire comprendre, j'emprunte un exemple analogue 

 à une théorie bien connue, celle des transformations quadratiques du plan. 

 Supposons que les trois coordonnées y i} y. 2 , y 3 d'un point y sont proportion- 

 nelles à trois formes quadratiques ç> t (ar„ a? 2 , ar 3 ), k = 1,2,3 des coordon- 

 nées du point x. Alors, si y est donné, x s'obtiendra par Yinversion du 

 système 

 (0) *•_*.* 



!/' «/« .Vs 



Si l'on a l»y = Ifiy = 0, a k = (3 k = C' e , a; sera à l'intersection des 

 deux coniques 



(\) 2a<p = 0, 2p<p = 0. 



On a supposé, pour établir la théorie des transformations quadratiques 

 Irrationnelles, que le réseau des coniques 2«y = était à trois points fixes 

 (homaloïde suivant la terminologie consacrée), c'est-à-dire que l'intersection 

 des deux coniques (i), mobile avec les paramètres « et (3, c'est-à-dire y, 

 était unique. Les x k sont alors rationnelles en y k . 



On voit que c'est une hypothèse pareille que je fais pour édifier la théorie 

 des crémoniennes de l'espace. 



Mais la transformation quadratique plane aurait pu être Irrationnelle 

 autrement. 



Il aurait suffi, par exemple, de supposer que les deux coniques 



£acp = 0, Ep<p = 



ont deux points communs fixes, tout en se louchant en un troisième point x 

 mobile avec les a et /S. Les coordonnées de x auraient encore été ration- 

 nelles en y t . 



Je n'ai pas cherché quelle théorie aurait pu être établie sur une pareille 

 hypothèse. Nous remarquerons seulement que l'hypothèse n'a pas été 



retenue par les fondateurs (MM. Cremona, Nœther, ) de la théorie des 



transformations birationnelles quadratiques planes. 



J'écarterai de même l'hypothèse analogue relative aux crémoniennes de 

 l'espace. Je supposerai toujours que l'inversion des systèmes tels que (0) et 



