A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 147 



Prendre es = (s^ i e)~ i , c'est effectuer la substitution 



(mn) (m'n') (pp') (qq') = aj3a. 



Prendre ese, c'est effectuer la substitution 



(mn') (m'n) (pq') (qp') = («p)\ 



Construisons le groupe r dérivé des substitutions a. et /3. Posons 



y = xp = (mqn'p') (pm'q'n) (y' =4) 



«"V« = |3a = y 3 = y - ' 

 p-yp = p* = r » = r ~'. 



r contient le sous-groupe r d'ordre k formé par les puissances de y, 

 r (l est permutable aux deux substitutions a. et /3. D'ailleurs a = y/3. Ainsi r 

 est d'ordre 8 el s'obtient en multipliant par /3 les substitutions de r . Les 

 huit substitutions de r sont 



l r r 1 r 5 , 



p rP r'(3 r 5 (3. 



On vérifie sans peine que r est transitif et permet de remplacer un des 

 huit entiers positifs 



m, m', n, »', p, />', 7, ç' 



par un quelconque des sept autres. 



De la présente discussion, nous retiendrons ce résultat commode pour 

 la construction des crémoniennes : « si on fait une hypothèse sur un des 

 » huit entiers tri..., q', on peut, sans restreindre la généralité, faire l'hypo- 

 » thèse sur celui des huit entiers que l'on voudra »; les huit entiers jouent 

 le même rôle. 



14. On peut faire usage aussi des coordonnées non homogènes 



x, y, 2, p, q 



