t98 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



75. Admettons jusqu'à nouvel ordre que le polynôme H(/) en / n'est 

 pas identiquement nul, Il(/) ± 0, et étudions de plus près l'équation 

 (D(/) = 0. 



« On ne peut avoir Q(t) = 0. » On aurait, en effet, alors 



<D = lu f hl H„ = T„I:r« M\U tj = ToXj. 



Résolvons par rapport aux h], puisque H ± 0; il viendra, après départ 

 de H" 2 , 



Hh't = TolhtjX, ; = pT a h,. 



i 



Par suite, 



A, lu 



5 h, 

 ■0 - r = 0. 

 M h, 



Le point y ne varierait pas avec / et la courbe V x se réduirait à un point; 

 .s serait crémonique. 



Nommons racine impropre de (D(f) = celle qui ne dépend pas des u,; 

 une racine impropre est une fonction des x, ou une simple constante. Il est 

 évident (n° 73) qu'une racine impropre ne peut fournir une crémonienne. 



« Sur les ir — 1 racines de ffl(/) = 0, il y a 4r — 2 impropres », 

 autrement dit une seule racine dépend des u,. 



Supposons, en effet, qu'à un élément (x, u) correspondent, en vertu de 

 l'équation <D = 0, deux racines non impropres / et /', distinctes ou confon- 

 dues ; y doit être unique sur la primordiale r, ; donc à un point y de 

 T r correspondraient deux valeurs I et /', distinctes ou confondues, du 

 paramètre t, c'est-à-dire de la variable de Liirolh. Cela est absurde (n° 73). 



« Toute racine impropre annule soit le polynôme H(0, soit chacun des 

 » polynômes h,{() /*,(/) — A ; - (/)//,((). » 



Soit l une racine impropre. On a (Q(l) =2w ; A-H = quels que soient 

 les u, ; donc, comme plus haut, 



Ih'flg = T>, , et, si H(«) ± 0, H/»; = P T„h, . 



Ainsi, ou H = 0, ou fi.h] — hjh] = 0. 



