A DEUX SERIES DE VARIABLES. 199 



On peut écrire immédiatement les polynômes II et h'Ji] — h'jlt]. La 

 recherche des racines impropres n'exige plus que des divisions de 

 polynômes. 



76. On obtient ainsi, par des procédés purement rationnels, l'équation 



/ 4r — 2 \ 

 T = 0, 



\ t; xi 



qui fournil les Ir — 2 racines impropres, chacune avec le degré de multi- 

 plicité qu'elle a dans l'équation fO(/) = 0. 

 Il vient alors 



,u( 4 '"' ' )-t(*- 8 )q( 1 ' )■ 



\ I ; ti: X I \ l\ xi . t; ii : x I 



L'unique racine non impropre s'obtient par Q. = 0, et l'on a 



ZB,(x)ii, 



Pour obtenir les y,, il suffit (n° 73) de transporter dans les h t (t; x) 

 cette valeur de / 



_2mB 



Retenons que « pour la racine non impropre, Q = 0, *— ± 0, T ± » . 

 T ± 0, parce qu'une racine impropre ne peut être identique avec une racine 

 non impropre. D'autre part, si -^ = 0, on aurait Iu\ = ZmB = 0, Q. = 0, 

 (Q = 0, ce qui est absurde (n° 75). 



77. Passons à la construction des <p r 



Le système (0) du n" 74 fournit les v t et x en fonction des x t et de t, sans 

 ambiguïté aucune. Les ^ sont proportionnelles aux v i} où l'on a remplacé t par 

 la racine non impropre / = 2Bm : l\u. 



