200 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Reste à montrer que la racine non impropre / ne peut faire évanouir tous 

 les premiers mineurs du déterminant © (u° 74). Un de ces mineurs est H; 

 or H n'est pas identiquement zéro, et, d'autre part, les racines de 11 ne 

 dépendent pas des u t . On peut raisonner de même sur les mineurs 



Si ÎJ9 = 0, il viendrait [H,,] = H 3 = 0, etc. 



En vertu du système (0) du n° 74 les i>, sonl linéaires par rapport 

 aux »,. il en résuie que 



i|/ i = 2« ; R lï (2ttB, 2wA; se), 



où R,j est une forme quaternaire en x t et binaire par rapport aux deux 

 expressions 2wB et Iu\, dont t est le quotient. 



78. Il convient maintenant de discuter le cas H(/) = 0, laissé provisoire- 

 ment de côté (n* 75). 



Remarquons d'abord que l'hypothèse ll (J (/)^0, pour i,j'= 1, 2, 3,4, 

 est impossible. 



En effet, si H, ; - = 0, on a 



h t) = «, \) •+- 6(8,: dh i = lùdt ■+- a,ÏA'dx -+- b,lB'dx (abh'dh) = = ^{abh'^dh,. 



I 



Quand l'élément (x, u) se meut de toutes les façons possibles, le point y, 

 dont les coordonnées sont proportionnelles aux /*,, ne pourrait prendre que 

 les oc directions d'avancement issues de y dans le plan, qui a les (abh') i pour 

 coordonnées. Cela est impossible; il faut que (abh')j = 0. 



Mais alors /<■ = /a, + pb, 



dh ( = o,li* -t- SA'rfïj -i- &,>/' -+- 2B'd<r{. 



Il n'y aurait plus pour ?/ qu'une seule direction d'avancement, ce qui est 

 encore plus absurde. 



Nous discutons donc le cas où H(/) sa 0, avec un au moins des mineurs 

 11,, * 0. 



