A DEUX SERIES DE VARIABLES. 201 



79. Si H(/)=sO, E tj = P,{0Q/0> un au moins de Pi et un ai « moins 

 des Q ; n'est pas nul. Alors (Appendice, noie II) 



ÛD(0 = Zujùlhj = ZuJhP.Qj = (ZPA') (zQm) 



i P((0 J l polynôme en t; 



) Qj[t) ) ) forme quaternaire en x, 



et, comme 



f//ij = Aîdl + Ihijdxj, k = 1 , 2, 3, -i, SH,*^/,, = Zh'fladt -t- Z/;,,H,, f /x ; , 

 y i ■ (/ 



c'est-à-dire, comme H rt . = P;Q t , et |A d -H { * = 0, 



Q,{2Pr//i — rf/SP/V| = 0. 



Comme les Q A . ne sont pas tous nuls, 



2Pdh = </<SP/i'. 



On ne peut supposer 2P/V = 0, car alors 2Prf/j = et aussi, comme on 

 le voit sans peine, iPh = 0. Toutes les directions d'avancement possibles 

 pour y seraient dans le plan de coordonnées P ; , ce qui est absurde (n° 78). 



80. Ainsi t est racine de 



©(0 = (ZPA') (SQu) = 0, 



c'est-à-dire, comme ZP/j' ± 0, de l'équation 



Q(t) = 2Q, M , = 0. 



i 



Je dis que Q(/) ± 0. En effet, dans le cas contraire, Q ; = q Xj; or, q ± 0, 

 et, successivement, 



p/i , = ÎXjhij p/V/A = 2a-# P 4 Ay = ZA„H A ,. = (& = 1 , 2, 5, 4), 



puisque 



H ij = P à Q J = qf a;,P i . 



Finalement, /*, s 0, ce qui est inadmissible. 



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