116 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



mollirent que « la surface Q est un cône ayant pour sommet le point 



» et pour directrice, dans le plan v = 0, la courbe unicursale du quatrième 

 » degré 



Second cas : s = (ac)(bd). 



88. Nous reportant aux n os 78 et 79, nous voyons que les quatre 

 racines a, b, c, d sont liées par les relations 



c = + {a), o = ^(c); f/ = *(&), 6 = *(«0; 



ip étant une fonction rationnelle à coefficients rationnels en ?., p., v. 

 De plus, comme au n° 81, on peut supposer 



a + b -+- c ■+■ d = 0, 



c'est-à-dire, dans l'équation \l(p) = 0, supposer nul le coefficient S f de p z . 



89. Je vais utiliser maintenant quelques propriétés bien connues que 

 possèdent les équations algébriques et les groupes de substitutions entre 

 leurs racines (*). 



On sait que toute équation algébrique irréductible, H(/>)= par exemple, 

 possède un « groupe de substitutions » G entre les racines. Toute fonction 

 des racines dont les substitutions du groupe G n'altèrent pas la valeur 

 numérique est exprimable rationnellement en fonction des coefficients de H. 

 Réciproquement, toutes les substitutions de G laissent invariable une fonction 

 des racines quelconque exprimable rationnellement. 



90. Si aux coefficients de H on adjoint la racine a, G se réduit au 

 groupe G, qui laisse a fixe. Mais c est rationnelle en a, G, laisse aussi c 



(*) Voir M. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques. 



