186 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



D'où, quand u tourne autour du point fixe x, 



m'<fi = Sw/pJ, = /j.ÏPu m'f = 7> SPu d<p, = £<p<,o(Uj = /),EPr/t< //«p = /)„SPdM 



dy,= tl— q>ldy,= 



</<p. «pi 



</<Po Ço 



= 0, 



c'est-à-dire r-- == 0. Le point ?/ reste fixe (|uand le plan u tourne autour de x. 

 y ne dépend que de x. Cela revient à admettre que, dans les y,, les u { man- 

 quent et m' = 0. 



Alors « la primordiale S x se compose des oo 2 éléments adhérents à un 

 » point y; î£ x appartient au type VI du n° 36 ». 



Si c'était la matrice correspondante [<//} qui avait nuls tous les premiers 

 mineurs de ses cinq déterminants, S x appartiendrait au type V du n° 36. 



Il y a donc des points primordiaux (cas du type VI) et des plans 

 primordiaux (cas du type V). 



60. Je viens donc de retrouver les six types de variété primordiale 

 énumérés au n° 36 et de montrer qu'il n'en existe pas d'autres. On a vu 

 au chapitre III que la connaissance d'une variété primordiale £ suifisait 

 à assurer celle de la crémonienne s. L'inversion (chapitre I er ) de s fait 

 connaître s~*. 



Bref, connaissant S, on connaît s, s~\ c'est-à-dire toutes les primordiales. 

 Ces dernières sont ainsi déterminées par £ et ne peuvent plus être arhilraires. 



Dans les chapitres suivants, je prendrai donc une primordiale pour base 

 soit de la classification, soit de la construction effective des substitutions 

 crémoniennes. 



Je résume la discussion comprise dans les chapitres IV et V dans le 

 tableau ci-contre, lequel donne la structure géométrique (type du n° 36) à 

 laquelle appartient la primordiale i I u , qui correspond dans la crémonieiiDe s 

 au plan quelconque u. 



