A DEUX SERIES DE VARIABLES. 207 



Je dis que H(/) = 0. Si H(t) ± 0, on peut toujours admettre que 

 I équation U(t) = n'a pas de racine infinie, c'est-à-dire que A ± 0. Je vais 

 montrer que celte dernière hypothèse est absurde. 



86. On a (n° 76) 



\ t I i ij 



puisque 

 Ensuite, 



u, = /), = — 



ït 



^)T(««,-Hft)-2o.H,i = 0, 

 (i) 2 aj H i; ==T(^-Hp ; ) + a,A^)- 



Résolvant par rapport aux a„ puisque H ± par hypothèse, il vient 



Ha, = 2A, ; )T(te, h- Pj) -t- x,Aj = TEA^te, -4- p,) + P A(te, -t- 6,); 

 o,jH — pA'| - P A6. = TSA„f««, -h p y ). 



Débarrassons T, A, H de leur plus grand commun diviseur en /, et soient 

 T , A , H les quotients premiers entre eux. Je dis que t ne figure plus 

 dans T . 



On a, en effet, 



Bi|H, - pA «i - P A 6, = ToSyfa + p,). 



Si, pour t = ( , T s'annule, alors, comme les points a et b sont distincts, 

 Ao('o) = H(j(<o) = 0. / — / diviserait T U} H , A ; cela est contraire à 

 l'hypothèse. 



Ainsi on peut poser 



T = 1 A = TA„ = T(tAo,(x) -+- A 00 (x)) H = TH = T j \\ m C -h H„,« + H M |. 



L'équation (1) ci-dessus devient 

 (2) 2a,H e = T J t{*j -h XjAoD + h *■ XjAa, [. 



