A DEUX SERIES DE VARIABLES. 189 



63. Bref, * ± 0. On peut alors utiliser pour la construction des <//, les 

 conditions de contact (n° 25) et prendre pour ^ les expressions 



3<ï> 



<!>, = lufrj <P tJ = — 



i 3<p„ 



débarrassées, s'il y a lieu, de leur plus grand commun diviseur. 



Les u, ne peuvent manquer dans les ty i} sinon les ^ et fa, c'est-à-dire 

 les xjî et v if dépendraient exclusivement des coordonnées x t ou de trois 

 variables; l'élément {y, v) parcourrait une variété à trois dimensions, ce 

 qui est absurde. 



Ainsi m'=0 entraîne n'=\. Les ^ sont de degré 3 (m — 1) et, en 

 général, n = 3(»î — 1), mais n peut s'abaisser si les <!>,•,• ont un commun 

 diviseur. En général, 



I m . . . \ 



S— \ 3(m — 1) 1 ... / ' 



Que sont les matrices? j y j ± puisque $ ± 0. j f' \ = avec tous ses mineurs 

 par hypothèse, j </.' } ± 0, car *F' = [<i> J = <î> 3 ± 0. 



Nous verrons plus tard si {<p}± Oou=0. Passons à la construction de 

 la crémonienne s -1 , c'est-à-dire à l'inversion (chapitre I er ) des équations 



64. Ayant à considérer à la fois les variétés primordiales 3? de 5 et celles 

 de s -1 , je désignerai ces dernières par £', %' v , s' v} ••• 



Je dis que, tout d'abord, « s' y est un point primordial »; en d'autres 

 termes, que « la matrice \6'\ a tous ses premiers mineurs nuls ». 



Faisons en effet sur \Q' } toute autre hypothèse. Quand v tournera autour 

 de y, x parcourra une variété à une ou deux dimensions. En d'autres termes, 

 il existera au moins une direction d'avancement de x pour laquelle y restera 

 fixe et dy l = 0. 



On devra donc avoir, pour un certain système de différentielles dx i} 



\ 



dij, = <p rfcp, — <p,'/<p„ = = Zqs.jtqvfa; r } df ]. 



