224 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



En effet, on aurail alors, partout sur P x , 



ix,iy } 



a,\j -+- bfy -+- cfij 



df t = Erfy, — !— = afifidy + ft.SB./i/ -*- c,)ÙCdy 



3*/' 

 M/,- = £«/, — — = «,LAy + • • • 



M (n° 102) étant le degré de /' en y { . 

 Par conséquent, en vertu des relations 



al/, = fi «du, -+- «//a = df { , 



il vient 



(a6cw) = (abcdit) = 0. 



Quelle que soit la direction d'avancement de y sur P^., le plan u n'aurait 

 qu'une direction d'avancement, u ne pourrait que tourner autour de la 

 droite xr, r, = (abc),. Quand y parcourrait toute la surface P r , u enve- 

 lopperait un cône de sommet x. Cela est contraire à la définition de la 

 surface primordiale : u doit pouvoir, quand y parcourt P x , prendre toutes 

 ses oo' 2 positions possibles autour de x. 



Il faut toutefois, pour que la proposition subsiste, que les (abc), = r { ne 

 soient pas proportionnelles aux x,. 



Mais alors Ixa = Ixb = Ixc = et 



Ix, — '— = -i- = 0. 



La surface P x aurait tous ses points multiples, ce qui est absurde. 



Ainsi le théorème annoncé est établi ; nous pouvons légitimement parler 

 de la courbe ri x intersection des surfaces P x et H = 0. 



107. « Les points fixes ou fondamentaux du système K. sont sur la 

 » courbe n x » . 



Posons h t j = j—-. On a en un pareil point 



C. Q. F. D. 



