A DEUX SERIES DE VARIABLES. 225 



« Tout point multiple de la courbe c (A du système R est sur «,. » 

 En un pareil point y, les coordonnées du plan tangent à la surface P x , 

 où /"(£;") = 0, sont p. Les coordonnées du plan tangent à la surface O k) , où 



sont 



Uf, = 0, 



— 2k,f t = lk,h i r 



Il faut donc, pour qu'il y ait point multiple sur c [ ', 



if a 



en vertu du théorème d'Euler. Par suite 



2hJk t — -x\ = o. 



Les deux points a; et A: sont distincts et H = 0. C. Q. F. D. 



108. « La courbe c [k) n'a aucun point multiple mobile. » 



Un tel point ne pourrait que parcourir la courbe ri x ; il y a go 2 courbes 

 é k) et ce points sur yi x ; un point quelconque de n x est multiple pour 

 oo courbes é k) . 



Soit une courbe quelconque c {k) ; soient y son point multiple sur >?, et 

 é k ' ] une autre courbe ayant aussi y pour point multiple. 



Le nombre des intersections, pour c' k) et ë k ' ] , confondues en y, est sûre- 

 ment supérieur à un. 



Donc l'élément formé par le point x et le plan des trois points x, k, k' a 

 plus d'une image (y, v) (n° 105). Cet élément est fondamental pour la 

 crémonienne s. Il y aurait un nombre infini d'éléments fondamentaux 

 adhérents à un point quelconque x de l'espace. Cela est impossible, car ce 

 serait la contre-partie dualistique d'une proposition dont j'ai déjà, au n° 34, 

 établi l'absurdité, savoir : existence de go éléments fondamentaux adhérents 

 à un plan quelconque u de l'espace. 



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