A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 103 



La relation (xABC) = est T = 0. Alors, en vertu d'un calcul déjà 

 plusieurs fois expliqué, les variables t et les ?t, sont rationnels en l tj : 



vj = 2k x i xj , xt = 2i^ï i? . 



<*■ £ 



Nous avons donc complètement établi les correspondances birationnelles 

 entre : 



les points de Q et les points de X, 



les points de Q et les plans tangents à U, 



les points de X et les plans de V. 



71. Soit (x,u) un élément de la variété ©o. Le point Ç de Q qui 

 fournit x fournil aussi un plan tangent >; à U; je dirai cpie >j est conjugué 

 avec x. Pareillement, le plan langent m à U comporte un point conjugué £ 

 sur X. Enfin, le point x et le plan u seront dits associés dans la variété &.>. 

 On vient de voir qu'il y a correspondance Irrationnelle entre deux quel- 

 conques des séries de variables x ti u i} £,, r n et aussi entre les coordonnées 

 du point Ç sur Q, qui fournil x et n, et celles du point Ç' sur il qui fournit u 

 et £. Donc, « il existe une transformation birationnelle qui transforme en 

 » elle-même la surface u ». 



72. Il existe encore un point et un plan remarquables. C'est le point y 

 où u touche U et le plan v tangent en x à X. 



Cherchons les coordonnées de y et v. Soient p, 1, p, v les coordonnées de ç 

 et liij les coelïîcients connus (n° 64). Ç fournit x. 

 Des relations (0) du n° 67 que j'écris 



(1) xj='Lk / Hij, / = t,2, 3, 4, fc, = const. arbilr., 



on tire l'identité 



H/r,- = 2hyXj, 



i 



Xj étant la fonction de f, X, ^, v définie par les formules (1). Différent ions et 



remarquons que 



% 3*é- . 3% iha ïhjj 



(i±j) — — «* — = &«> V = f '>' T~ = 1 ^ = ' 



DA D,u Dv Dp Dp 



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