258 SUR LES FORMES QUATEIWAIRES 



CHAPITRE XII. 



CLASSIFICATION DES CRÉMONIENNES. 



125. On sait que Lie (* ) a établi, parmi les transformations de contact 

 de l'espace ordinaire, la classification que voici : 



Soient (x, y, z, p, q) et (x 1 , y' , z 1 , p', q') un élément et son transformé; 

 les trois catégories de transformations de contact correspondent aux trois 

 cas, où entre x, y, z et x', y', z' il existe 



une relation ; 



deux relations distinctes; 



trois relations distinctes ; 

 le dernier cas étant celui d'une transformation ponctuelle prolongée (envei- 

 terle). 



Nos crémoniennes, n'étant pas autre chose que des transformations de 

 contact Irrationnelles, doivent rentrer dans la classification précédente. 



C'est, en effet, ce qui est. 



126. Désignons comme toujours par : 



c £ x la variété primordiale afférente au point x dans la crémonienne s; 



g' la variété primordiale afférente au point y dans la crémonienne s -1 . 



On voit immédiatement que les trois cas de Lie se traduisent de la façon 

 suivante dans notre terminologie habituelle : 



Premier cas : £ x et <£ y sont des surfaces primordiales P r et P' y ; 



Deuxième cas : £ x et s' y sont des courbes primordiales i\ et r' y ; 



Troisième cas : S x et £ y sont des points primordiaux, la crémonienne 

 devenant crémonique. 



En un mol, notre classification des crémoniennes esl la même que celle 

 de Lie, mais complètement généralisée dans le sens dualislique. 



(*) Théorie der Transformationsgruppen, Bd II, S. 54. 



