62 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPERIEUR 



CHAPITRE IV. 



Fonctions de M. Alexeiewsky. 



15. En commençant ce travail, nous avons dit que les fonctions de 

 MM. Alexeiewsky et Barnes résultent simplement d'une combinaison de la 

 fonction r(x) et de la fonction G,(#) de Kinkelin. 



Pour le montrer, cherchons l'expression de cette transcendante sous 

 forme d'un produit infini, et considérons la relation due à Weierstrass : 



i !zf / x — i \ -ï=l 



r(x) L l , \ « I 



d'où, par intégration, 



G,(x) = A — - H 



puisque 



/" , x(x— 1) 1 



IogG 1 (x)= / log r(() dl -+- — — ^ - — -xlog2r. 







On déterminera la constante A„ par la condition que G,(x) est égal à 

 l'unité pour n = 0, et l'on obtient 



" 3) °' M S~S(i + .-.r 



En vertu des relations connues : 



\ 1 i 



1 H • • • H lOg » 



2 5 n 



1.2 ... « = <•-" m" l/âsrJT, 



