DE IvINKELIN. 63 



C étant la constante d'Euler, on transforme aisément ce produit infini en 

 celui-ci : 



1'.2\3 3 ...n'n s îSïrii 



u x*(x-h if + '...(n -+- x — 1)"+-' 



C'est la formule trouvée par Kinkelin. 



Par des transformations simples et au moyen des relations rappelées 

 ci-dessus, on parvient, sans difficulté aucune, à mettre le produit (73) sous 

 la forme 



J(I-I) _ C(r— )» 

 g 2 * n=00 | 



G|(*)~ ï=i H 



£»■)- -h+nZLL] r + 



Si Ton change i en x + 1, 



e 



2 î ji=« 



G,(x + l)= —H 



[i4 "=■ fi + - 



„ * s. 



OU 



Or, 



donc 



I Ci_« 



i (2 y )V'" «- / x\»+* __£ 



_ Ci- m=00 I 



[r(l + *)J*==e * TT 7 ri~ 



x Cx* 



[r(i -t- x)] ' (-2 '■■ _ — /, . x\-_ I+ ; 



G,(l H-X) 



W L -^7^r = lf: ^ô-ll[i-r)^. 



Cette fonction est celle de M. Alexeiewsky et, si nous la désignons 



par (|(1 + x), il viendra 



n [r(x h- i)? 



0,(1 h- ar) 

 OU 



p, , [''(x)]-' 

 J G,(x) 



Cette fonction Ç(a?) se reproduit, multipliée par Y(x), quand l'argument 

 augmente d'une unité. 



