AVANT-PROPOS 



Dans les Archives de Grunert, tome XXII, Kinkelin s'est proposé de 

 déterminer la forme générale de certaines fonctions qui possèdent un 

 théorème de multiplication, exprimée par la relation suivante : 



n — V 



= nf(n) +- nty(n)[(nx) ■+■ « ! <{/'(»)x + w 3, |"(")-' s ■+•••• + » /t+l i|'''" , (n)ir / *. 



Il établit que la fonction 



f(x) = a — (a t -4- a, -*- h «,,_,) B^, (x) 



— ^« v log l '"- 1 »r(x) + a^.iB^^x) -+- a // .,.B /i _ 3 (x) ■+- ■ • ■+- a,(x — I) 



satisfait à cette équation, si B^a?) désigne un polynôme de Bernoulli, et 

 log'' 1 " 1 ' r (x) une transcendante qui jouit de la propriété exprimée par 



l'égalité 



l g(,"-'>r(x -h 1) = x/'-'logx +- Iog ( <"-»r(x). 



En outre, pour des valeurs entières de x, on a 

 log"'- |, r(x) = l'^Mogi -+- ^-'io s 2 -+- 5^-* logô -t- ... +(x— iy-'iog(x— I). 



