6 AVANT-PROPOS. 



Poursuivant son étude, le savant géomètre anglais est amené à considérer 



la fonction 



Ug l {x)=J"logr(p.)dft, 



qu'il appelle le logarithme intégral de T. 



L'intégrale deuxième, troisième, . . . n me de logr(x) conduit aux fonc- 

 tions ilg»{x), ilgi(x), . . . ilgjx), c'est-à-dire à l'intégrale »< uple de logT(x), 



iig m {x) —jy*. ■ -f log rfc) (dft)\ 



Le développement de ces fonctions en série se déduit de celui de log r(a?), 

 et l'auteur exprime les valeurs des constantes A d , A 2 , A 3 et A 4 par des séries, 

 procédant suivant les sommes des puissances des inverses des nombres 

 naturels. Au moyen de ces fonctions, il trouve la somme de certaines séries 

 et la valeur d'un grand nombre de produits infinis remarquables. Chemin 

 faisant, il donne plusieurs propriétés de ces fonctions pour des indices 

 simples et établit, sans aborder le cas général, la formule de multiplication 

 de l'argument pour les transcendantes ilg^x), ilg^{x), itg^{x) par des intégra- 

 tions successives de la formule 



r(x)r x -+- - r Ix -+- -J ... r fx h j = r(wx)n-~-4(2z-) 1 r- 



Il en arrive à considérer le produit infini, 



t^y . . . x'", 



dont il cherche la valeur asymptotique, x étant supposé un nombre entier 

 très grand. 



A cet effet, il fait usage de la formule sommatoire 



^ P , 1 B. dV x B 3 (PU, 



y U x = C -f- /ua ÏÏ. + — — ^ h , 



£ ' J * ' 2 * 1.2 du 1.2.5.4 dx s 



B,, B :! , B,;, . . . étant les nombres bernoulliens. 



