AVANT-PROPOS. 7 



Cette formule, généralement attribuée à Euler, serait due à Mac-Laurin, 

 d'après Malmsten (*). 



Dans son traité de calcul différentiel, l'immortel Euler déduit de celte 

 formule la série de Slirling. Appelant S la somme log 1 -f log 2 

 + log 3 + . . . + '°g k> ' e grand géomètre trouve 



S = k log k -4- - log 2w k — k -\ t- -*- rr~, t, — "• 



Legendre (**) s'est borné à reproduire l'analyse d'Euler. Par le même 

 procédé, M. Glaisher trouve, selon que / est impair ou pair, les deux 

 développements : 



i ' log 1 •+- 2* log 2 -+- 3 a log 3 -4- •• • ■+■ x' J tog x = A} ■+■ f[x, a) log a; -+- F(x, a) 

 B J+2 1 B u< 1 B^ 



(— 1) * t. 2. ... A 



1 .2. . . (A -+- 5) x 2 4.5.6. ... (A -+- 5)x s 6.7. 8. ..(A 

 l À log 1 -+- 2' log 2 -f- 5' log 5 -f- • • • -+- x ; log x = A; -+- /(x, A) logx 



+ F(»,*) + (-1?1A...a[ ^ — i ^ 1+ B '^— i. 



v |_1.2. ...(A-+-2)x 5.4. ...(A +4) x 3 5.6. ...(A -+-6) x 5 



OÙ 



x x+ ' 1 . B, B 3 , B. , 



/ x, i) = + -a' +— ix'-- 1 — Ci,x^+ ? C i5 .r ; - 5 -.. 



IK ' A-t-1 *J 1.2 1.2.5.4 ' 1.2.3.4.3.6 



7)x 6 "'_]' 



et 



a' +1 B, /1\ . B, !\ 1 1 



F(x,i) = -+ —A - a'-' —C- is - -+■ + 



1 ' (i+lf 1.2 \xl 1.2.3.4 ' \a a — 1 A — 2 



B, r /Il 1 \ ; _ 5 



1.2... 6 U A — 2 A — 4 



(* C.-J. Malmsten, Sur la formule 



/iu; = au, — - au; -+- — au: ? — au^ 



2 1.2 1.2.3.4. 



(Journal de Crelle, t. XXXV.) 



(**) Legendre, Exercices de calcul intégral, t. I, p. 189. 



