8 AVANT-PROPOS. 



S'il se présente dans ces polynômes un lerme indépendant de x, on le 

 conservera dans f(x, À), et non dans F (x, X), où on le suppose contenu 

 dans la constante Aj. 



x étant un nombre entier, le premier membre de ces développemenis 

 représente la fonction que nous désignerons par G^x'+i). Mais ils ne 

 subsistent que pour les valeurs entières de x, et il reste encore à les 

 établir pour des valeurs de la variable, fractionnaires ou incommen- 

 surables. 



Incidemment et dans le dernier cbapitre de son remarquable travail, 

 M. Glaisher considère ces fonctions de Kinkelin. A cet effet, pour en trouver 

 la forme, il cherche la valeur du produit infini 



l'*2 4 V...(x— if 1 -^, 



et il appelle ga,(x) l'expression de ce produit, en sorte que, si x est un 

 nombre entier, 



ga,{x) = i'' -1- y' ... (x — 1 )•'-'<' 



Cette analyse sommaire du travail de M. Glaisher a été faite à la demande 

 des savants commissaires, MM. de la Vallée Poussin, Deruyts et Mansion, 

 chargés d'examiner mon premier mémoire dont celui-ci n'est d'ailleurs, au 

 fond, que la reproduction. Elle suffit pour montrer que nos résultats dans 

 la théorie des transcendantes supérieures de Kinkelin sont entièrement 

 nouveaux. 



Le Quarterly Journal ne faisant point partie de la Bibliothèque de 

 l'Université de Liège, j'ai ignoré jusqu'à la fin de l'année 4899 ce travail 

 de Péminent géomètre anglais. A cette époque, les deux mémoires cités plus 

 haut furent analysés dans le Bulletin des sciences mathématiques (*). 



(*) Bulletin des sciences mathématiques, t. XXIII, année 1899, p. 163. 



