AVANT-PROPOS. !» 



Dans un pli cacheté envoyé, le 8 décembre 1897, à l'Académie royale 

 de Belgique, j'ai fait un exposé succinct des recherches qui constituent 

 l'objet du présent mémoire. Alors j'étais déjà en possession de la plupart des 

 résultats que j'ai l'honneur de soumettre aujourd'hui à la Classe des sciences. 



Ce travail a pour objet l'étude des propriétés des fonctions supérieures de 

 Kinkelin que je désignerai par la notation G\(x). Au début de cette théorie 

 apparaissent des constantes m y dont la signification analytique est exprimée 

 par une relation analogue à celle qui est due à Raabe. Ces constantes jouent, 

 par rapport aux transcendantes de Kinkelin, le même rôle que la con- 

 stante an, relativement à logr(x). Entre les constantes ^ et celles de 

 M. Glaisher, il existe les relations suivantes : 



\ i / 



- log a „ = log A 2l , - log o Sl _, = log A s ,_, + (—!)' ^ 



1 2 3 2t— il ïi 



B 2i _4 désignant le i me nombre de Bernoulli. 



Pour rappeler la signification analytique de ces constantes, j'ai adopté la 

 notation w i} ™ rj représentant ainsi la quantité 2?r. 



Je montre ensuite qu'il existe pour la fonction log G ; (x) une série entiè- 

 rement analogue à celle de Stirling. Du développement de cette transcendante 

 en série trigonométrique, je déduis les résultats généraux de M. Glaisher et 

 j'y ajoute quelques autres, qui me paraissent particulièrement intéressants. 



Dans un dernier chapitre, je dirai quelques mots d'une fonction étudiée 

 par MM. Alexeiewsky et Barnes (*). Elle jouit de la propriété caractéristique 

 de se reproduire multipliée par la fonction r, quand l'argument augmente 

 d'une unité. Le mémoire de M. Alexeiewsky, écrit en langue russe et 

 signalé à mon attention en 1896 par l'illustre Hermite, m'a échappé en 

 grande partie. Par une analyse qui me semble bien laborieuse et qui est 



(*) Alexeiewsky, Communications de la Société mathématique de Kharkow, 1. 1, année 1889. 

 — Barnes, The Theory of the G function. (Quarterly Journal of Mathematics, t. XXXI.) 



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