14 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



Théorème I. — Si a est un nombre entier, on a, par définition, 



(4) G),(a+ l) = J li 2 ï V ...a B \ 



Théorème II. — Entre n + 1 fonctions, on a : 



^ Gi(na) = » i+l( " >+ i+i ; nj s ÏJ Gi[a-H-] , (a impair) 



5 M'*:) ' 



[S) 



G; (fia) = r.'^' , "" ) B . ~^~ 



(x pair) 



Démonstration. — Dans ré(|uation (1), changeons successivement a en 

 a + - , a -\- f t , ... a + • — , n étant un nombre entier, et ajoutons les 

 résultats de ces substitutions : 



2 D'+ 2 log G; \a + £) = rc 2 I)** log G) («a); 



d'où, par des intégrations successives, 



2 lo 8 G > a + - = -/ lo S G)("«) + P/ +1 (rt), 



P;+d( a ) désignant un polynôme entier du degré /. + 1. 



Il nous reste à déterminer les constantes d'intégration. A cet effet, chan- 

 geons dans la relation précédente a en a -{- \, et soustrayons les deux 

 résultats l'un de l'autre; en vertu de la relation (2), il viendra 



ou 



2 ("-•--) log(o + -)= 2 \ a -*--) log(«o -t-^) + P) l+ ,(o+ i) — P i+t (o) 



log n , 



-B % -[(n(rf + {na+ I / -+-■■■ + («a + n— \f] + P A+1 (a + I ) — P i+1 (a) = 0, 



ou, plus simplement encore, 



[B i+1 (na + n)— B ; + ,(»»«)] iÇ + P a+ ,(a + 1 ) — P> +1 (a) = 0. 



