id SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



d'où, par comparaison, 



— r +- mf(»)= — r +-n^(m), 



OU 



4»(») ' , 



= ^'°S n A' 



m i +1 _, „'+'_! 2 ° A 



n* 



37 A étant une constante indépendante de n et encore indéterminée. 

 En conséquence, 



„l+> ! 

 2» ; 



4'(») = » „À '°g CT - 



Second cas. — ). impair. Alors 



\ ,, , (— I) 2 m x +* — t logn 



4* ( mM ) = -j 4K H| ) -*- ""M") ; 5 — B > — r ' 



W* A h- 1 m »■* 



Par la même voie, on est conduit à la relation 



1+1 1-H 



à (m) Bi r- di(n) Bj — 



Yl ' A-+ t m* _ YV (A -*- I) . n Â 1 



m>+« - 1 n^'-i - = 2 l0 S°A- 



m' n A 



Donc 



n )+1 — 1 (— 1) 2 log n 



<bhi) = loe sr-, +- B> — 



Si nous substituons ces valeurs de 4* (n) dans l'équation (6), elle prendra 

 Tune des formes suivantes : 



^ / M 1 log « » i+l — 1 



> log Gj o -+ - = — log Gj(na) — - B; +1 (m«) h — ^ — log^, (a pair) 



1+1 

 ''="-' / F \ I log/f » >+ ' — 4 (— t) s log M 



2 '°s G > 1« - -J =^logGi(»«)- -^ B i+l( „«) + -^r-iog^ + ----b, — • 



(A impair). 



Passant des logarithmes aux nombres, on a le théorème énoncé ci-dessus. 

 On pourrait ne conserver qu'une formule en convenant que la fonclion 

 B i+I («a) contient un terme indépendant de a, quand 1 est impair. 



