18 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



a étant fixe, M tend vers une quantité bien déterminée, quand n croit 

 indéfiniment, el nous savons en outre que le rapport — a pour limite | log *r x , 

 La variable y devient infiniment grande avec n. Le premier membre a pour 



+ 1 



limite f log G> (x) dx, et la quantité entre crocbets doit tendre vers une 

 constante /3, indépendante de y. Celle conclusion n'est peut-être pas 

 irréprocbable, mais nous montrerons bientôt, et d'une manière rigoureuse, 

 qu'il en est ainsi. Passant à la limite, on a 



/a y+i 1 



log Gx(x)ilx = ^— - log a -t- (3a /+ ' -4- - log w % ; 



a 



puis, par différentiation, 



a' 

 log G* (a -f- d) — logGa(a) = a^loga h +- (X-*- i)P* x . 



A -4- 1 



Comme le premier membre est égal à a' logo, on doit prendre 



conséquemment, 



/**' a i+l r lit 



(8) y log Gj(x) dx = |— -j log a — — — -t- - log m x . 



En particulier, 



/ logG A (x)r/x = -lognr r 



o 



On peut démontrer directement celte relation (8), au moins pour les 

 valeurs entières de a. 

 Des équations 



/^-' /M n^' — i (— l) 2 



♦m- jL^U — ^- l0 « w ^T^r B 



*(„) = \ |ogG i y-- sr -log Wl , 



