20 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



Par le changement de a en a -f- 1 et par soustraction, il vient 



1+1 



logG A (a + t) — togGi(o) = x/logG ) _ 1 (jr)cfa -+- P )4 .,(a +- 1) — P )fl (tt). 



a 



Ensuite, en vertu des relations (2) et (8), 



P>+i(« + I) — P)+i(o)= — — -«logG7 ; _ ( . 



A cette équation, on satisfait en prenant 



p >+. («) = — " ^ ° g CT >-< ' 



sans constante, puisque log G,(a) est nul pour « = 0. 

 Ainsi, 



(9) log G; (a) = xj log Gi_ t (x) f/x -h -=ii-i — - a log m 



s "O-r 



Maintenant, d'après les propriétés des fondions de Bernoulli, on trouve 

 successivement et de proche en proche : 



/a 

 logr(x)dx -+- B 2 (a)— -logzzr , 







logG,(a)= 1 . 2 / / log r (x) dx dx -+- ( 1 -+• -J B 3 (a) — a 15, — - log sx — ^alogsr,, 



o n 



logG : (a)=1 .2.3. ' f j j logr(x)dxrfxdx + f I + - + -J B,(«) 



0" 



5 n 3 5 5 



— - o 2 B, — — log a — - o- log m, — -a log ot. , 



logG 7 (n)= 1.2.5.4.5.6.7 /" / ••• / logr(x) (dx)' -h M -4- -+--+-••• -t- -) B 8 (a) 



no 



/ 11 I l\ 7 / I l\7.6.5a 4 7« 6 I ^ B /7\ 



\ 2 3 4 5JI.2 5 l 2 3/1.2.3 4 12 2 /£. V ° M 



