12 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



Ces développements ne subsistent que pour les valeurs de x, comprises 

 entre et 1. A ce sujet, M. Glaisher a fait une ingénieuse remarque dont 

 il se sert plusieurs fois dans son étude. Si Ton désigne par \x\ la partie 

 positive et fractionnaire de la variable ou la mantisse de x, on a, quelle que 

 soit la valeur de x, 



1.2.3.4....2ï'*Sf sïnZkTX 



tW|*|„) = (-iy>'2- 



w +i â ^' 



v . , B Jlf2 . 1.2.3.4....(2t-4- l)*S°cos2A:srjc 



b* + ,(i*|o)=(- «r ^ - (-D-2 — ^ — ?2 -^ 



Les principales propriétés dont jouissent les fonctions de Bernoulli sont 

 exprimées par les relations : 



Ba +1 (x + \) = x' -*- Bj +1 (ar), 

 B« +I (a;) = — B lfH .(l —a-'). 

 B 2i+2 (x) =Bji +! (l— x), 

 B M+! (0) =B„ +i (0) = 0, 



B 5l+1 (a) + (— D'oB,,., 



/ B si (a;)dx = 



2i 



BW) 

 Si -t- I 



/ B Sl+) {x) dx = — 

 ./ 2i 







B 2i+1 (x) -*- B 2|+1 [a: -h — j -+- ■ + B^, \x -+- —^—j = ^ B î,+« («*), 



/ 1\ / n— \\ 1 (— \) i+i n tihi - \ 



B îi+i (x) + B 5|>2 \x + -J + •■ • B^Lr + — ^-J = — ~ B 2l+2 («a-) -+- -^j wi| .,, B Sl .,. 



2. Valeurs de B 2l+2 (£), B 2i+2 ({), B 2l+2 ({), B 2m ,( ( ',). 

 Ces relations donnent successivement : 



t\\_ (-L'' + ' 2"+ 8 — i p 

 Bîi+2 là/ ~ ^T^ ~v^ B » + " 



/i 



\\ (_ i)'H 5«+2_ d 

 3/ _ 2(2i -+- 2) 3'- ,+ ' 



B W U = »,„.- . a, , 2i + . B -'+" 



11 = (-')""' (2«+'+1)(2*>*-ï) B5i+1 

 4/ 2(2ï -+- 2) 4 5i+l 



/n (—1)''+' (3 S, ' +1 - + -1)(2 s '+'- ( -1) — 2 



Bs,+2 le i = 2(27^ 2) " "g^ - " Bs,+ ' • 



