DE KINKELIN. 13 



3. Ceci rappelé, nous désignerons par G A (a) une fonction qui satisfait 

 à l'équation différentielle 



(I) D / + 2 IogG / (a)= t .2.5. ...A N 



De plus, la fonction G ; .(«) jouira de la propriété de se reproduire 

 multipliée par a" , quand l'argument augmente d'une unité, en sorte que 

 l'on doit avoir 



(2) Gi(<n-1) = o°\n(a). 



Nous supposerons enfin que, pour a = 0, la valeur de la fonction est 

 égale à l'unité et que l'on a ainsi 



(5) Gi(0) = Gi(l) = Ga(2) = 1. 



G x (a) sera la fonction d'ordre A; G t (a) est la fonction du premier ordre 

 ou la fonction de Rinkelin. G (a) sera simplement la fonction r(a). 



Les relations (1) et (2) ne sont pas contradictoires. Pour s'en assurer, 

 il suffirait de prendre jusqu'à l'ordre X -f- 2 la dérivée logarithmique des 

 deux membres de l'équation (2). Au surplus, la propriété exprimée par 

 la relation (2) résulte immédiatement de l'équation (1), En effet, si l'on 

 change dans celle-ci a en a -f- \, on a 



D>+" Iog G, (a + \ ) - D l+i log G; (a) = - '°^' 1 ; 



puis, par l'intégration répétée, 



log G; (a -+- I) — log G; (a) = a" log a + Pi +I (a), 



P A+i («) désignant un polynôme entier du degré l 4- 1. 



La propriété exprimée par la relation (2) particularise la transcendante 

 G,(a); celle-ci appartient ainsi à une classe de fonctions qui satisfont à 

 l'équation différentielle (1) et à la condition suivante : 



F a (o+ 1) = ,À P) +«( a ) F , (u) . 



