42 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



ou 



Q ; .,(a)= i±L + C UM — (-l)'C i+, '« 



v;+n ' (a-H)* a+1 ' ! a-+-| a V ' 



1 I 1 1B„-, 



-h 1 1 _!L_* a i-s(+i. . . 



a A-t X— 2i+2_|A-t-1 



2 ri 1 11 



Bi_, 



a. 



A-+-1 



Remarque. — De l'équation (40) résulte immédiatement, pour a = oc, 

 la limite de l'expression 



log G, (o) Iog a 



X-t- 1 



En effet, celle relation peut être écrite ainsi 



logG,(a) loga A / i i l \ \ 1.2. 3... A/'» »{*) 



In — i — i 1 y-ii(a) r— — / er"' — jlx. 



1 .2. 3... A /"» œ(x) 



o >+1 AH-1 1.2...(A+1) \ 2 3 A-t-|/A+l YV a x+i J x À+î 



o 



La fonction Y(a) s'annule à la limite, et il en est de même de l'intégrale 

 contenue dans le second membre. En effet, la fonction ->~ est nulle avec a:; 

 elle va donc d'abord en croissant ou en décroissant, selon le signe de 



( — 1) s , et elle atteint ainsi un maximum ou un minimum. A partir de 

 cette valeur, la fonction diminue constamment en valeur absolue et tend 

 indéfiniment vers zéro. Elle restera donc toujours inférieure, en valeur 

 absolue, à une quantité fixe A, quand la variable parcourra toutes les 

 valeurs de à + oo. Par suite, on aura 



|"logG;(a) logo 



I 



(A -H If 



ainsi que nous l'avons trouvé plus haut. 



Si X est pair, le même procédé conduit à un résultat identique. La rela- 

 tion (8) est donc démontrée rigoureusement. 



Valeur asymptotique de G>(a + 1). — Posons 



en convenant de conserver les termes indépendants de a, s'il en existe. 



