44 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



or, 



t»+l (2m + a) (2m -+- a -+- 1) 



par suite, 

 et, a fortiori, 



B S „ + }_2 4t 



(2n — 2) (2m — i) 



[È] 



< 



[é] 



4tV 



n 



< 



a*- 



En valeur absolue, U„ sera moindre que U„_ b lant que n sera inférieur 

 ou égal au plus grand nombre entier contenu dansa*. La limite du décais- 

 sement des termes sera la même que celle de la série de Stirling. 



Limite de l'erreur. — L'erreur commise en faisant usage des développe- 

 ments (42) et (43) est toujours moindre en valeur absolue que le premier 

 des termes négligés. On aura donc la plus grande approximation possible en 

 s'arrêtant au terme qui précède le terme minimum, et la valeur de celui-ci 

 sera une limite supérieure de l'erreur commise. On peut encore déterminer 

 de la manière suivante une limite de l'erreur, quand on s'arrête à un terme 

 de rang quelconque. Désignons par e„ la valeur absolue de l'erreur faite; 

 lorsqu'on prend les n premiers termes de la série, on a l'inégalité 



Or, 

 donc 



1.2. 5. ..A B,. +)H 



f " (2m h- 2) (2m -+- 3) ... (2m -4- a -4- 5) a*"-* 



1 t(2m -4- a + 4) 



b,„ + j+, < — (2;r)î „ + i + , ; 



i 1 .2.5... >. I .2. 3... (2m -4- 1) 

 f » < Ta ~ (2x) 5 "''- ;i +V"+ î 



Ensuite, en vertu des inégalités 



1.2.3... A < A J+ i e~ x + ïï> 1/2^ 

 1 .2.5 ... 2m < (2m) 2 " + « e-'-^l/^, 



on a définitivement 



(2m + t)l/2«W A \» / n \'" ^+ 



