50 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



CHAPITRE III. 



Développement de logG A (.r) en série trigonométrique. 



10. Dans le Journal de Crellc (*), Kummer a donné un développement 

 remarquable de la fonction logr(a?). On a, pour toutes les valeurs de x 

 comprises entre et 4, exclusivement, 



(48) log 



I 1 '5 e cos Zkxx *S° C -*- log 2*A' . , 

 r(x) = - log 2*- + - 2 7 + 2 ~ —JT- ~ s,n " 2k,rx > 



C désignant la constante d'Euler. 



Il est facile de trouver pour log G ; (x) un développement procédant 

 aussi suivant les sinus et les cosinus des multiples de l'arc lux. 



Supposons que nous connaissions le développement de logG,_,(#), 



savoir 



\ 



log Gj_,(x) = - log m _ -+- 2A,;_iCos 2tx -t- 2A S ;_, cos 4tx -t- •• • -t- 2A t ,;_,cos 2/.'3-x -t- ... 

 -+- 2B|,)_i sin ç lxx -+- 2B Sj j_, sin ixx -4- ■•• ■+■ 2B tj )_, sin 2frxx -+ • • -, 



celui de logG;,(#) s'ensuivra immédiatement. 

 En effet, on sait que 



(49) / log G>.,(.r) sin 2/.t.t(/x = Bj,^,, 



(50) / logG>_,(x)cos2A:3-x(/x = Aj,)_,. 







L'intégration par parties transforme la relation (49) en la suivante 



sin 2/i'tx / logGj_,(x)rfx — 2/cît / cos2A-»-xrfx/ log G;_, (x) dx = Bj >_, . 







(*) Tome XXXV. 



