54 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



lo S G„ +l (1-*)=-log^+h+5+i+...+ — î— -C-loga^fB^xJ+M)'^ 



2 \ 2 o 2<-t- I / \ 2i-4- 



(54) , 



. ,.. 1.2.3 ...(31-1-1)*» nnâft*x MaL 1.2.3...(2« + 1)'K»lo«[A 



Si nous combinons les équations précédentes par addition et par soustrac- 

 tion, nous obtenons : 



.1.2.3... 2i" *SL" cos 2forx 



(55) log G 2l (x) G„(1 - x) = log w v + (-!)'■ 



(fcrj- fi **• 



G„(x) 



G a (1 — x) 

 (56) 



1 1 I 



I H -f- - -+- ••■ -l- C 1 



2 5 2ï 



og2* B îl+) (x) 



1.2.3 ...2i*5? log A- 

 l'4- îtïi— ^ -T^-sinSt»», 



logG„ + ,(x)G M+l (l-x)=]og WMH +2ri+i+i+ ..-HJ- ï -C-log2T|rB !i+i (x)-i-(-1)'^l 



(57) | l+ J 



l.2.3...(2M-t) t S" , logZr 



G, j+1 (x) , 1 . 2 . 3 . . . (2 » + 1 ) *3" si n 2fcra 



(58) og + =(— 1)' — ' ^ 



1 ' S G 2(+1 (l-x) * ' (SrfH fi *»" 



Si l'on remplace a? par | — a? dans les formules (55) et (58), on a 



H \ l\ \ 1.2...2t*S° .cos2ftrx 



(59) log G„ (-- xj G sj (- + x] = log *„ + (- l)« — — | (- 1) 



(2t;« â *"" 



'«+i V2 



t. 2. 3.. (2i + 1)*S° , sin2/, 



= (- 1) ,+ ' r-èr^ ^ (- I 



(60) iog -_-=(_ 1 r - -^ — > (- ' r 



sin z/."tx 



2tt) 2, ' +i â * 8 ' +2 



Par le changement de a; en \ — x, ces mêmes formules deviennent 



l\ \ l\ \ I 2...2*'S C sin2(2A'-+- 1)rx 



■ogG ii (--x)G it (--.x) =l og g , M - t -(-1i'-^ Ft |(-i r (2A+1)W+t 



1 .2 ..2i*S° k cos4A'tx 



G* +1 ^- — xj ^ 2 ^ -^ 1 A S» _ cos2(2À + 1)gx 



'° § I 75 \ = (_ 1 r (2^'-H ,| (_ 1} m -h !)«+« 

 G M+1 ^ + xj 



1.2.5...(2» + 1) 'g° «inU« 



