56 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR 



Pour i = 0, la formule (65) se réduit à 



G,(i) 

 1111 W 



1 H . . . = 2t log . 



I 2 5 a 5 2 T & f 5\ 



Cette constante est celle de Calalan. Ce résultat a été donné par Kinkelin 

 dans le mémoire cité plusieurs fois. 



Remarque I. — Le premier membre de la formule (63) étant essenliel- 

 lement positif, il en doit être de même du second. Il en résulte donc que 

 les constantes dont l'indice est un multiple de 4 plus 2 sont supérieures 

 à l'unité, et que celles dont l'indice est un multiple de A sont des fractions 

 proprement dites. 



Remarque II. — Pour » = 1, la formule (63) donne 



1111 



S- = —■+- — +—-+- — ■+- ■ • = 2a-Mog cr 2 . 

 5 i z 2 3 5 3 4." ° 



Or, 



2s- 8 = 1 9,75920 88021 787 1 7 2376G 84568 29, 



donc 



S 3 = 1,20205 69051 59575 5. 



Legendre (*) trouve pour S 3 la valeur 



1,20205 69051 59594 3... 



11. Les relations précédentes nous paraissent remarquables. Elles 

 permettent d'exprimer, sous forme finie et au moyen des fonctions de 

 Kinkelin, les transcendantes 



*S°cos2A:tx *K°sin2fcrx '5° sin (2fe + i)*.r 'g cos (^ 



2 t»+. A fr«+« ' A. (_ ) ,a t . 1^(4-1 2 ( ) ( a/. , 



2/î -+- 1 W.r 



Lorsque a? est commensurable avec n, il est facile de montrer que la 

 somme de ces séries. peut aussi s'exprimer au moyen des coefficients diffé- 

 rentiels de la fonction gamma. Un grand nombre d'intégrales définies sont 



(*) Legendre, Exercices de calcul intégral, t. II, p. 65. 



