54 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPERIEUR 



CHAPITRE II. 



Développement de log G>.(«) en série semi convergente. 



8. Une méthode d'une grande élégance, exposée par l'illustre Hermite 

 dans son cours de la Faculté des Sciences de Paris, conduit rapidement à 

 la série de Stirling. Tout le succès du procédé repose sur ce fait, qu'une 

 certaine intégrale définie décroit constamment, quelles que soient ses limites, 

 quand un paramètre de la fonction sous le signe augmente indéfiniment. 

 Notre démonstration est fondée sur cette simple remarque. 



Reprenons l'équation 



D 5 - 1 -' log G> (a) = 1 . 2 . 3 . . . A D* log r (a), 



ou, ce qui revient au même, 



/■» xe~ at 



Remarquons avec Hermite que la fonction D^logG^a) est uniforme 



^—^ dx n existe qu à la 



condition que la partie réelle de a soit positive. Cependant l'expression de 

 D' + " log G. (m) par une intégrale définie nous conduira à un développement 

 entièrement analogue à celui de Stirling. Comme précédemment, nous avons 

 deux cas à examiner, selon que } est pair ou impair. Notre démonstration 

 est un peu longue, mais nous ne pensons pas que le sujet en puisse 

 comporter de plus courtes. 



Premier cas. — 1 impair. 



Considérons la fonction 



.)■ 



B . B ; / .xTT B > r 



Ui 



m( x ) = ■ 1 X s H ^ _ , X* -+- (— 1) 



i—e* -2 t. !2 1.2.5.4 1.2.3...(l ■*- 1) 



B,, B 3 , B„, . . . étant les nombres bernoulliens. 



