56 SUR LES FONCTIONS D'ORDRE SUPERIEUR 



Multiplions par du les deux membres de la relaiion précédente et inté- 

 grons / + 2 fois de suite; il viendra 



(40) logr»i(o)=1.2.3...A[Pa +l (u)loga + Qj +l (a)]+Rj +1 (o)— 1.2.5.. xj * JJ' dx, 







si nous faisons 



///.../S(a)( f /a)^=P iH (a)!oga + Q )+1 («), 

 OÙ 



a )+l 1 a' B, u'-' 



P> + .(«) 



i."2...(X-*-i) 2 1.2... A 1.2 1.2.. .(a— 1) 





1.2. .2« 1.2.5. ..(A — 2« -+- 1) I 5i ... (A -+- 1) 



et 



/ 1 1 1 \ a x+i \ I 1 1\ a J 



Q )+i Ui) = — I + - + - + ••■ + h- 1 +- + ••■-+-- 



+ W \ 2 5 A-+- 1/ 1.2...(A+ 1) 2\ 2 A/1.2.3...A 



/ 1 1 \ B, a 1 -' 



1 H 1 1 h ■•• 



\ 2 A- il 1 . 2 1 .2. 5. ..(A— 1) 



-+- — 1)' |H 1 H ; 1-(— 1 * 1+- - 



v \ 2 A-2ï+l/1.2...2il .2.3...(A— 2i+1) l 2/ 1.2.3. ..(A-t) 1.2 



Quant au polynôme R ; + i(a), qui s'introduit par l'intégration, nous le 

 représentons par 



A a )+I AX A ( o ; - iH A^a 



1.2.3...(A-+-1) 1.2. 5... A 1.2... (A— 1+1) 1 



Il nous reste maintenant à déterminer les coefficients Ao, Ai, A 2 , A ; , 



A;^], et à développer l'intégrale en série. Nous intégrerons une dernière 

 fois entre les limites a et a + 4, et, désignant par *¥(a) l'expression V x +\(a) 

 log a + Qx-+- 1(«), nous aurons 



/•° + ' /""•"' A T . , (a-h2)(a+1) , A-f-2 "1 



/ loeGx(x)dx=V./ <b[x)dx+ (A+2)a >+, + - V-f—n a+i \ 



J ° ' J fl ' 1.2.3 (Ah-2)L ' 1.2 1 



n a 



a, r (a + 1)) , , a -h 1 1 



A -*- 1 )a J - -f- o ; -' h- ... h- a+1 



... (A -*- 1) [ 1.2 1 



1.2 



