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g IV. — Équations aux différences partielles (*). 



] i. Nous «liions donner quelques détails sur les équations homo- 

 gènes par rapport aux signes de différentialion relatifs aux varia- 

 bles indépendantes. Nous supposons, d'ailleurs, qu'il n'y ait que 

 deux variables de cette sorte et qu'elles aient pour différence con- 

 stante l'unité. En outre, dans ce qui suit nous ne nous occuperons 

 que de solutions particulières de ces équations; pour obtenir l'in- 

 tégrale générale ou au moins une intégrale plus générale, il suffira 

 de prendre la somme d'un nombre quelconque d'intégrales parti- 

 culières semblables à celles que nous donnons ici. Le signe s d in- 

 tégration, employé plus bas, est relatif à la variable x. 



Soit d'abord l'équation : 



A x s — flAyS = ou (A x — ab a )z = 0. 

 On trouve comme solution particulière : 



m t — 1 



z = {\m\n\, n x étant tel que 



— a 



et JWj et C { étant des constantes arbitraires. 

 Soit ensuite : 



Posons, z==C, m t x n? z\ puis z'=z"+ 2 1 : m A , nous trouve- 

 rons : 



an. 



m, 



d'où, si : 



m t — 1 an t m 1 m t — m t 



= — , c'est-à-dire = a 



?j s — 1 m l ?i 1 »? 2 — ?», 



T21 ! 



z' = C 2 m*ng et z = C.m^n^ — -+- C s m|w* . 



(*) Canchy, Exercices, t. II, pp. 185 et 186, ne fait qu'indiquer l'application 

 de la méthode de Brisson à ces équations; dans le mémoire suivant, pp. 201 

 et 209, il étudie avec beaucoup de soin l'équation du premier ordre avec un 

 second membre quelconque. 



