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ceux de l'équation différentielle en u, en remplaçant D^ par l'unité, 

 et ce changement est aussi celui qui, effectué dans la première 

 équation, donne la seconde. On formera donc, dans chaque cas, 

 l'équation différentielle en u, et on essayera de l'intégrer : si l'on 

 y réussit, on connaîtra les sommes b -h c, b { -h Ci d'après ce qu'on 

 a dit précédemment; si b { -\- c { est fonction de x seul, on pourra 

 ajouter la relation qui donne cette somme aux six précédentes 

 en «, a,..., ainsi que celle qui donne 6 -t- c. S'il est impossible de 

 satisfaire aux huit équations obtenues ainsi entre a, a { etc., ou si 

 bi -h c v est fonction de y, on en conclura que l'on ne peut pas sup- 

 poser a, b t c, indépendants de y. On peut chercher de même si 

 «i? &i> Ci peuvent être supposés indépendants de x. La remarque 

 précédente peut s'étendre a une équation d'ordre quelconque et à 

 un nombre quelconque de variables. 



\ 5. Dans le cas où tous les coefficients d'une équation du second 

 ordre sont constants, on peut essayer de satisfaire aux six relations 

 en a, aj etc., en supposant ceux-ci constants. Ces relations pren- 

 nent, dans ce cas, la forme : 



\ = a t , B=66 t , C=cc t , 2F = bc i -\-b t c, 2G=ac 1 -4-a 1 c 1 , 2H=a& 1 -i-fl 1 &. 



On arrive aux mêmes relations en posant : 



Aa? 2 -t- By 2 -hCz 2 -+-2H^i/-f-2G^z + 2Fî/z = (aa?H-^ -+- cz) (c^a? -+-&,»/ +i\z) 



dhc dhi „d 2 u ^ ¥T d% . d*u cPu 



A hB — + C — -+-2H-— H-2G- h2F 



dx % dy 2 dz 2 dxdy dxdz dydz 



= {aD x -+- bD tJ -+- cD-) (aj) x -+- bj> y -f- c,D-) u 



AD| + BA* -*- C -h 2HAD?/ -t- 2GAy -4- 2FD// 



= (aD -+- b\ ■+- c) {aj) -+- 6 X A -+- c x ) ?/, 



et elles ne sont compatibles, comme on sait, que si l'on a : 



o n. 



O Cf. Lacroix, t. II, $ 762, p. G03. 



